奇點(diǎn)是物理中存在和不存在的點(diǎn)這個(gè)點(diǎn)在空間和時(shí)間維度上的曲率是無(wú)限的，空間和時(shí)間也就止于此。奇異性是廣義相對(duì)論中的一個(gè)重要研究課題它不僅是能量條件的最早應(yīng)用之一，也是廣義相對(duì)論中整體方法的最早范例。1970年，Hawking 和Penrose  提出并證明了奇點(diǎn)定理。

引力奇點(diǎn)是大爆炸宇宙學(xué)中大爆炸的起點(diǎn)，是一個(gè)無(wú)窮大的密度、時(shí)空曲率無(wú)限高、熱量無(wú)限高、體積無(wú)限小的“點(diǎn)”所有已知的物理定律在奇點(diǎn)處失效。宇宙是在奇點(diǎn)大爆炸后產(chǎn)生的。

物理上，一個(gè)存在和不存在的點(diǎn)叫做奇點(diǎn)，它在空間和時(shí)間維度上具有無(wú)限曲率，空間和時(shí)間在那里終結(jié)。

經(jīng)典廣義相對(duì)論預(yù)言的奇點(diǎn)就會(huì)發(fā)生。具有合理物質(zhì)來(lái)源的經(jīng)典廣義相對(duì)論認(rèn)為，處于引力坍縮中的空間-時(shí)間的奇點(diǎn)是不可避免的，奇點(diǎn)在一定情況下必然存在，尤其是宇宙必然從一個(gè)奇點(diǎn)開(kāi)始。然而，因?yàn)槔碚撛谄纥c(diǎn)失敗，所以不可能描述在奇點(diǎn)會(huì)發(fā)生什么。

奇點(diǎn)作為世界的起源，應(yīng)該具有形成宇宙所有物質(zhì)的勢(shì)能，所以是看不見(jiàn)的。同時(shí)可以想象，在某一時(shí)刻，宇宙奇點(diǎn)的這種勢(shì)能平衡被打破，于是能量不斷轉(zhuǎn)化為物質(zhì)，若干年后，我們現(xiàn)在的宇宙就形成了-物質(zhì)和能量的共生。

我們能做什么然而，我無(wú)法想象是什么導(dǎo)致了奇點(diǎn)勢(shì)能平衡的破壞。

奇點(diǎn)沒(méi)有大小“幾何點(diǎn)”，是一個(gè)實(shí)際上并不存在的點(diǎn)，很難理解。同樣難以理解的是，沒(méi)有大小的奇異物質(zhì)，其實(shí)是一種能級(jí)無(wú)限大的物質(zhì)。這些都與我們現(xiàn)有的理論和概念相悖。

物理學(xué)中的奇點(diǎn)更常見(jiàn)于描述黑洞的中心。此時(shí)由于該點(diǎn)的物質(zhì)密度極高，向內(nèi)引力極強(qiáng)，物質(zhì)被壓縮在一個(gè)極小的點(diǎn)上，此時(shí)的時(shí)空方程中就會(huì)出現(xiàn)無(wú)窮小分母的描述，因此物理定律無(wú)效。奇點(diǎn)是一個(gè)天體物理學(xué)概念，被認(rèn)為是宇宙剛剛形成時(shí)的狀態(tài)。

引力奇點(diǎn)（Gravity   singularity）It 就是大爆炸宇宙學(xué)中提到的那個(gè)“點(diǎn)”，即“大爆炸”的起始點(diǎn)。該理論認(rèn)為宇宙（時(shí)間－空間）是從這一“點(diǎn)”的“大爆炸”后而膨脹形成的。奇點(diǎn)是一個(gè)無(wú)限的密度、時(shí)空曲率無(wú)限高、熱量無(wú)限高、體積無(wú)限小的“點(diǎn)”所有已知的物理定律在奇點(diǎn)處失效。

奇點(diǎn)是眾所周知的物理定律失效的地方，一般被認(rèn)為是一個(gè)點(diǎn)，但原則上它可以是一維線甚至二維膜的形式。根據(jù)廣義相對(duì)論的方程，只要形成一個(gè)沒(méi)有旋轉(zhuǎn)的史瓦西黑洞，黑洞視界中的物質(zhì)就必然坍縮成一個(gè)密度無(wú)窮大的點(diǎn)，也就是奇點(diǎn)。宇宙從大爆炸開(kāi)始的均勻膨脹，是這個(gè)黑洞坍縮的鏡像反轉(zhuǎn)，意味著宇宙誕生于奇點(diǎn)。

在這兩種情況下，量子理論都不在方程中考慮。當(dāng)我們處理一個(gè)比普朗克長(zhǎng)度短的物體時(shí)長(zhǎng)度小于或等于普朗克長(zhǎng)度s時(shí)代，似乎包括廣義相對(duì)論在內(nèi)的已知物理定律真的會(huì)失效。這意味著，在那個(gè)尺度上，有理由假設(shè)坍縮到奇點(diǎn)的物質(zhì)受到量子過(guò)程的影響，這是可能的‘反彈’相反，它向外擴(kuò)展到另一組維度。一些人認(rèn)為大爆炸‘奇點(diǎn)’其實(shí)就是這樣的反彈。

加州理工學(xué)院理論物理學(xué)教授基普說(shuō)·桑尼將量子奇點(diǎn)描述為引力，它使得空間和時(shí)間相互作用‘分離’地點(diǎn)，然后時(shí)間和空間的概念清晰—?dú)?，剩下的是一個(gè)什么都能出現(xiàn)的地方‘量子泡沫’(《黑洞和時(shí)間翹曲[1]》)奇點(diǎn)，尤其是旋轉(zhuǎn)黑洞和裸奇點(diǎn)（如果存在的話）相關(guān)的奇點(diǎn)甚至可能允許時(shí)間旅行。

奇點(diǎn)定理是 Hawking 與 Penrose 于 1970 年提出并證明的，但這并不是最早的奇點(diǎn)定理。 Penrose 于 1965 年， Geroch 于 1966 年， Hawking 于 1967 年等都提出過(guò)各自的奇點(diǎn)定理。比較之下， Hawking-Penrose 奇點(diǎn)定理所要求的條件在物理上最容易實(shí)現(xiàn)，并且涵蓋面也廣，因此人們說(shuō)到奇點(diǎn)定理時(shí)通常指的就是Hawking-Penrose定理。

Hawking-Penrose 奇點(diǎn)定理不依賴于對(duì)稱性，它對(duì)于確立廣義相對(duì)論中奇點(diǎn)的存在性及普遍性來(lái)說(shuō)是非常強(qiáng)有力的，同時(shí)它也是對(duì)奇點(diǎn)產(chǎn)生原因之爭(zhēng)的判決性結(jié)論。但 Hawking-Penrose 奇點(diǎn)定理也有一個(gè)顯而易見(jiàn)的缺點(diǎn)，那就是它既無(wú)法告訴我們究竟哪一條非類空測(cè)地線是不完備的，也無(wú)法提供有關(guān)奇點(diǎn)具體性質(zhì)的信息。這一缺點(diǎn)為后人加強(qiáng)奇點(diǎn)定理的結(jié)論部分留下了空間。不過(guò)要想加強(qiáng)奇點(diǎn)定理的結(jié)論部分，往往不可避免地要對(duì)前提部分也予以加強(qiáng)，從而有損定理的普遍性。

在 Hawking-Penrose 奇點(diǎn)定理的四個(gè)前提中，前提 4 屬于初始及邊界條件，并且實(shí)現(xiàn)的可能性極大。事實(shí)上，早在 Hawking-Penrose 奇點(diǎn)定理提出的年代，天文觀測(cè)及理論研究就已經(jīng)在很大程度上顯示出這個(gè)前提的三個(gè)子條件很可能部分甚至全部得到滿足。前提 1 和 2 與人們?cè)诤暧^世界的觀測(cè)經(jīng)驗(yàn)相符，因?yàn)槠袼乃泻暧^物質(zhì)的能量動(dòng)量張量都滿足強(qiáng)能量條件，而現(xiàn)實(shí)宇宙中物質(zhì)（包括宇宙微波背景輻射）及引力波的分布無(wú)疑遍及全空間，從而滿足一般性條件，因此在以大尺度宏觀世界為主要描述對(duì)象的廣義相對(duì)論中，這兩個(gè)前提被認(rèn)為是適用的。前提 3 所要求的不存在閉合類時(shí)曲線也具有不錯(cuò)的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)，因?yàn)闀r(shí)間的單向性是宏觀世界中最基本的經(jīng)驗(yàn)事實(shí)之一。因此所有這四個(gè)前提都有其可信賴之處，但如果一定要在這些前提中找出一個(gè)最有可能在現(xiàn)實(shí)物理世界中不成立的，那么 - 如我們將在后文中看到的 - 能量條件（即前提 1）將是首選，因?yàn)槔碚撆c觀測(cè)都表明它事實(shí)上就不成立。不過(guò)，能量條件的破壞主要來(lái)自量子效應(yīng)，而我們所討論的奇點(diǎn)定理是經(jīng)典廣義相對(duì)論中的命題，兩者在所涉范圍上有出入。

如果我們不考慮量子效應(yīng)，或者說(shuō)只考慮經(jīng)典廣義相對(duì)論，又有哪一個(gè)前提最值得懷疑呢？一般認(rèn)為是時(shí)序條件（即前提 3）。這一條件要求不存在閉合類時(shí)曲線。它之所以值得懷疑，主要有兩個(gè)原因：一是因?yàn)閺V義相對(duì)論的某些特殊解事實(shí)上允許閉合類時(shí)曲線存在（參閱 時(shí)間旅行: 科學(xué)還是幻想？），雖然迄今為止那些解還沒(méi)有一個(gè)得到過(guò)任何觀測(cè)上的支持；二是由于閉合類時(shí)曲線實(shí)際上是一種抽象的時(shí)間機(jī)器，這是一種在很多方面都很引人入勝的東西。因此有些物理學(xué)家把廣義相對(duì)論沒(méi)有在原理層面上禁止閉合類時(shí)曲線，視為是一個(gè)很值得探索的理論問(wèn)題。

如果時(shí)序條件有可能被破壞，那就產(chǎn)生了一個(gè)很自然的問(wèn)題：即我們是否可以通過(guò)作一個(gè)與 Hawking-Penrose 奇點(diǎn)定理不同的選擇，把測(cè)地完備性作為定理的前提之一，而把時(shí)序條件的破壞（從而允許時(shí)空中存在閉合類時(shí)曲線）作為定理的結(jié)論呢？對(duì)這種可能性物理學(xué)家們也進(jìn)行過(guò)一些研究。1977 年，美國(guó)圖蘭大學(xué)（Tulane University）的物理學(xué)家 F. Tipler 研究了漸近平直時(shí)空中有限大小的閉合類時(shí)曲線，結(jié)果發(fā)現(xiàn)在強(qiáng)能量條件與一般性條件等條件成立的情況下，這樣的曲線在測(cè)地完備時(shí)空中是不可能出現(xiàn)的。其他一些物理學(xué)家后來(lái)也做了這方面的研究和推廣，包括使用更弱的條件，以及推廣時(shí)序破壞的定義等，得到的結(jié)果都類似。這些結(jié)果成為后來(lái) Hawking 提出所謂時(shí)序保護(hù)假設(shè)（chronology protection conjecture）的基礎(chǔ)之一。這些結(jié)果表明，時(shí)序條件的破壞在很大程度上本身就意味著測(cè)地完備性的破壞，因而放棄時(shí)序條件并不能挽回測(cè)地完備性。這一結(jié)果在一定程度上加強(qiáng)了奇點(diǎn)的不可避免性，也進(jìn)一步支持了 Hawking-Penrose 奇點(diǎn)定理的合理性 。當(dāng)然，所有這一切都限于經(jīng)典廣義相對(duì)論的范圍。

奇點(diǎn)定理的證明需要證明以下五個(gè)條件不能同時(shí)成立：

1）時(shí)空是測(cè)地線；2）強(qiáng)能量條件成立；3）一般性條件成立；4）時(shí)空滿足時(shí)序條件；5）時(shí)空上有一個(gè)無(wú)順序的點(diǎn)集 S，使得3356e（S）與 E-S）緊致。

限于篇幅，這里只能簡(jiǎn)單描述一下論點(diǎn)思路。以上五個(gè)條件中， 1）~3 ）是 在第一步證明奇點(diǎn)定理時(shí)使用的條件，由此推斷每條非空間測(cè)地線上都有共軛對(duì)。(1 )和 4 ）推斷時(shí)空滿足強(qiáng)因果條件。并且通過(guò)強(qiáng)因果條件和 5）你可以證明這樣一個(gè)結(jié)果：時(shí)空中存在一個(gè)整體雙曲區(qū)域 M，它包含一條未來(lái)不可延伸的類時(shí)曲線 γ 和一條過(guò)去不可延伸的類時(shí)曲線 λ 3356。利用這個(gè)結(jié)果，可以證明時(shí)空中存在一條沒(méi)有共軛對(duì)的非空間測(cè)地線。具體的做法是：在 λ 上取一個(gè)過(guò)去方向趨于無(wú)窮大的點(diǎn)集 an，在 γ 上取一個(gè)未來(lái)方向趨于無(wú)窮大的點(diǎn)集 bn。由于 M 是全局雙曲的，所以每對(duì) an 和 bn 之間都有一個(gè)（長(zhǎng)度最大的）非空間測(cè)地線 μn，其上 an與 an 之間沒(méi)有  an的共軛點(diǎn)。可以證明m中的這個(gè)無(wú)限非空測(cè)地線集合 μn 中一定有一個(gè)“聚點(diǎn)” μ，這是非空測(cè)地線，并且其上沒(méi)有共軛對(duì)。這樣，你得到的結(jié)果和第一步得到的結(jié)果是一樣的“每條非空間測(cè)地線都有共軛對(duì)”矛盾的結(jié)論，從而證明上述五個(gè)條件不能同時(shí)成立。

由于上述五個(gè)條件不能同時(shí)成立，所以可以以其中四個(gè)為前提（也就是假設(shè)這四個(gè)條件成立），推翻其余的條件。Hawking 和 Penrose 做的就是用2）~5）在推翻 1的前提下）那就是證明時(shí)空不是測(cè)地線完備的。根據(jù)定義，這表明時(shí)間和空間中存在奇點(diǎn)。這就是 Hawking和Penrose的奇點(diǎn)定理。

在 2中，這被奇點(diǎn)定理采納為前提）~5）,  2）~4 ）有明確的物理意義，只有 5）瞬空間中有一個(gè)無(wú)順序點(diǎn)集 S，使得3356e（S）與 E-S）緊湊，非常抽象。幸運(yùn)的是，我們可以用一些物理意義更明確的條件來(lái)代替這種抽象的數(shù)學(xué)條件。如上所述，如果強(qiáng)能量條件成立，對(duì)于任何封閉的俘獲表面 S， E（S）與 E-S）緊致。由于強(qiáng)能量條件已包含在 2中）~4 ）答對(duì)了，所以我們可以用“時(shí)空中有一個(gè)封閉的陷獲面”替換 5）這個(gè)條件在物理上可以由足夠致密的恒星來(lái)滿足。此外， Hawking 和 Penrose 還提出了另外兩個(gè)條件來(lái)代替 5）一個(gè)是“時(shí)空中存在一個(gè)緊致的無(wú)限的無(wú)序點(diǎn)集”這個(gè)條件在物理上可以由太空中的無(wú)限宇宙來(lái)滿足；另一個(gè)是“在時(shí)間和空間中有一個(gè)點(diǎn)，所有的未來(lái)都經(jīng)過(guò)這個(gè)點(diǎn)（或過(guò)去）類光測(cè)地光束在方向上的膨脹標(biāo)量 θ 最終會(huì)變成負(fù)值”這個(gè)條件在物理上可以通過(guò)宇宙局部膨脹或收縮來(lái)滿足。這三個(gè)條件原則上是可以檢驗(yàn)的，在我們的宇宙中很可能已經(jīng)滿足了。

至此，我們可以對(duì) Hawking 和 Penrose 所證明的奇點(diǎn)定理做一個(gè)完整的陳述：如果一個(gè)時(shí)空滿足以下條件，它一定是非空間測(cè)地線不完全的（即存在奇點(diǎn)）1）強(qiáng)能量條件成立。2）一般性條件成立。3）滿足時(shí)序條件。4）以下三個(gè)條件之一成立：a. 有一個(gè)封閉的捕集阱表面；b. 有一個(gè)緊致的無(wú)限非順序點(diǎn)集；c. 所有的未來(lái)都經(jīng)過(guò)一個(gè)點(diǎn)（或過(guò)去）類光測(cè)地光束在方向上的膨脹標(biāo)量 θ 最終會(huì)變成負(fù)值。

宇宙之初，沒(méi)有時(shí)間，沒(méi)有空間，只有絕對(duì)真空。真空中存在真空零點(diǎn)能，構(gòu)成奇點(diǎn)，宇宙產(chǎn)生于大爆炸之后。